Espaço de Hilbert e o 5G: do PISA à soberania digital brasileira
A soberania digital não será alcançada apenas pela expansão da infraestrutura de telecomunicações ou pela importação de equipamentos. Ela começa na sala de aula.
À primeira vista, o Espaço de Hilbert, o desempenho do Brasil no PISA em Matemática e o 5G parecem não ter qualquer relação. Um é um conceito fundamental da Matemática, outro é um indicador da qualidade da educação e o terceiro representa uma das mais avançadas tecnologias de telecomunicações. No entanto, existe um elo profundo entre eles: a capacidade de um país formar engenheiros, cientistas e pesquisadores aptos a desenvolver tecnologias de ponta.
O Brasil enfrenta uma grave crise na formação de engenheiros. Em reportagem publicada pela revista Exame, em 17 de dezembro de 2024, foi destacado que as matrículas em cursos presenciais de Engenharia nas instituições particulares de ensino superior caíram 44,5% entre 2014 e 2020, com base em levantamento do Sindicato das Entidades Mantenedoras de Estabelecimentos de Ensino Superior (Semesp). O cenário evidencia um preocupante desinteresse pela profissão e representa um risco para setores estratégicos como energia, infraestrutura, indústria e telecomunicações.
Outro dado preocupante foi divulgado em 5 de dezembro de 2023, quando a Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE) publicou os resultados do PISA 2022. O Brasil obteve apenas 379 pontos em Matemática, ficando 93 pontos abaixo da média da OCDE (472 pontos) e ocupando a 65ª posição entre 81 países avaliados. Trata-se de um desempenho incompatível com as necessidades de uma economia que busca ampliar sua competitividade tecnológica.
Os resultados do PISA ajudam a compreender por que cursos como Engenharia Elétrica e Engenharia de Telecomunicações apresentam elevados índices de reprovação e evasão nos primeiros semestres. Essas formações exigem domínio de funções, álgebra, geometria plana e espacial, trigonometria e geometria analítica, conhecimentos que sustentam disciplinas como Cálculo Diferencial e Integral.
Na Engenharia de Telecomunicações, o Cálculo Diferencial e Integral constitui a base para disciplinas como Equações Diferenciais, Probabilidade e Estatística e Eletromagnetismo. A partir desse alicerce, o estudante avança para conteúdos mais sofisticados, como Análise Complexa, Transformadas Integrais (Fourier, Laplace e Z), Processos Estocásticos, Processamento Digital de Sinais e Teoria das Comunicações. É nesse percurso que surgem conceitos da Análise Funcional, como os Espaços de Hilbert, fundamentais para compreender tecnologias como OFDM, modulação QAM, Massive MIMO e diversos algoritmos empregados nas redes 5G.
Desenvolvido pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943), o Espaço de Hilbert é um conceito da Análise Funcional que generaliza os espaços vetoriais para conjuntos de funções e sinais. Embora tenha surgido no campo da Matemática Pura, tornou-se um dos principais pilares da Engenharia de Telecomunicações e do Processamento Digital de Sinais.
Em termos simplificados, um Espaço de Hilbert permite representar sinais como vetores e compará-los por meio de uma operação denominada produto interno. Nas telecomunicações, essa operação corresponde à integral do produto de uma função pelo conjugado complexo da outra, em um determinado intervalo. O resultado mede o grau de semelhança entre dois sinais. Quando o produto interno é nulo, os sinais são ortogonais, isto é, independentes entre si, podendo compartilhar o mesmo canal de comunicação sem provocar interferências significativas. A partir desse conceito também são determinadas a energia dos sinais, a distância entre eles e outras propriedades fundamentais para as comunicações digitais.
Esses conceitos deixam de ser abstratos quando observamos as tecnologias empregadas atualmente. O OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing), utilizado no LTE, no 5G, no Wi-Fi e na TV Digital, depende da ortogonalidade entre centenas de subportadoras para transmitir grandes volumes de dados com elevada eficiência espectral e baixa interferência.
Na modulação QAM (Quadrature Amplitude Modulation), cada símbolo transmitido é representado em um espaço de sinais modelado matematicamente como um Espaço de Hilbert. A distância entre esses símbolos influencia diretamente a probabilidade de erro durante a recepção: quanto maior essa distância, maior a robustez da comunicação.
O mesmo ocorre com o Massive MIMO, uma das tecnologias centrais do 5G. Utilizando dezenas ou até centenas de antenas, o sistema emprega modelos matemáticos baseados nos Espaços de Hilbert para realizar beamforming, multiplexação espacial e transmissão simultânea para diversos usuários, aumentando significativamente a capacidade e a eficiência das redes.
Não por acaso, empresas como Nokia, Ericsson, Qualcomm, Huawei e Samsung utilizam esses fundamentos matemáticos no desenvolvimento de algoritmos de processamento digital de sinais, codificação, estimação de canal, beamforming e sistemas Massive MIMO. A matemática, portanto, deixou de ser apenas um conhecimento acadêmico para tornar-se um ativo estratégico da indústria global de alta tecnologia.
É importante reconhecer que o desempenho no PISA exerce influência direta sobre a capacidade tecnológica de uma nação. Uma base consistente em Matemática é o ponto de partida para a formação de engenheiros, pesquisadores e cientistas, permitindo que investimentos em pesquisa, inovação, universidades e políticas industriais se convertam em desenvolvimento tecnológico. Sem essa formação, esses investimentos tendem a produzir resultados mais limitados, comprometendo a capacidade do país de inovar, fortalecer sua indústria de alta tecnologia e reduzir sua dependência tecnológica externa.
A soberania digital não será alcançada apenas pela expansão da infraestrutura de telecomunicações ou pela importação de equipamentos. Ela começa na sala de aula. Fortalecer o ensino da Matemática, valorizar a Engenharia e investir em ciência, tecnologia, inovação e na indústria nacional de alta tecnologia é uma estratégia indispensável para que o Brasil deixe de ser apenas consumidor de tecnologia e passe a desenvolvê-la, produzindo riqueza, competitividade e independência tecnológica.
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